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합동식 2 합동식의 성질 2 합동식은 일반적으로 등식처럼 계산할 수 있다. (약간의 차이점은 있다) 1) 합동식에서 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 합동식이 성립한다.\( a \equiv b \; (mod \; m) \), \( c \equiv d \; (mod \; m) \) ▶ \( a \pm c \equiv b \pm d \; (mod \; m) \) 2) 합동식의 양변에 같은 수를 곱해도 합동식이 성립한다.\( a \equiv b \; (mod \; m) \), \( c \equiv c \; (mod \; m) \) ▶ \( a \times c \equiv b \times d \; (mod \; m) \) 3) 합동식의 양변을 같은 수로 제곱해도 합동식이 성립한다.\( a \equiv b \; (mod \;.. 2024. 6. 22.
합동식 1 - 정수의 나머지를 사용하여 등식처럼 계산하자! 정수의 합동  정수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a\), \(b\)를 어떤 자연수 \(m\)으로 나눈 나머지가 같을때"\(m\)에 대하여 \(a\)와 \(b\)는 합동" 이라고 하고,기호를 사용하여 \(a \equiv b\ (mod \; m) \) 과 같이 표현한다.다시말해 \(a \equiv b\ (mod \; m) \)이면, \(a\)와 \(b\)는 \(m\)으로 나눈 나머지가 서로 같으므로 \( (a- b) \)는 \(m\)의 배수이다.  합동이라는 단어는 기하에서 도형의 합동이라는 것을 들어보았을 것이다. 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 합동이라고 할 때, 두 개체는 분명 다른 존재이지만, 그 모양과 크기가 같고 겹치면 일치하기 때문에 같은 성질을 가지고 있다는 것이다. 마찬가지로 정수론에.. 2024. 6. 19.
부정방정식 - 두 식의 곱으로 이루어진 부정방정식 해법 디오판토스 방정식방정식 중 해가 하나로 결정되지 않는 방정식을 부정방정식이라고 한다.이때, 정수로 된 해만을 허용하는 부정방정식을 디오판토스 방정식이라고 한다. 유명한 디오판토스 방정식의 예를 들면일차 부정방정식 : \( ax+by=c \)의 정수해.피타고라스 세 수 : \( x^2 + y^2 = z^2 \) 의 정수해. 직각삼각형을 이루는 세 변의 정수 길이를 찾는 문제펠 방정식 : \( x^2 - D y^2 = k \) 의 정수해 등등이 있다. 일차부정방정식의 정수해는 합동식을 활용하면 풀기 쉬우므로 합동식을 다룬 다음에 기술해 보도록 하겠다. 지금부터 다룰 디오판토스 방정식은 두 식의 곱으로 만들어 해결할 수 있는 문제 중에 하나를 다루어 보겠다. 100보다 작은 자연수 \( n \)에 대하여 \(.. 2024. 6. 14.
최대공약수의 성질 여러 개의 정수에 대하여 정수들의 공통된 약수를 공약수라 하고, 공약수 중 가장 큰 자연수를 '최대공약수'라고 한다.그리고 두 수 \( a \), \( b \)의 최대공약수를 기호로 \( gcd(a, b) \) 또는 \( g(a, b) \)로 나타낸다. 다음과 같은 성질이 있다.① \( a= bq + r (0 \leq r ② \( g(a, b) = g(a, a-b) \)③ \( g(a, c) = 1 \)이면 \( g(a, bc) = g(a, b) \)이다. 예제1) 자연수 \( n \)에 대하여 \( g(2n+1, 2n-1) \)을 구해보자. 풀이)\( g(2n + 1, 2n-1) = g(2n+1, 2) \)이고, \( 2n+1 \)은 항상 홀수이므로,\( g(2n+1, 2) = 1 \) 예제2) 소수 .. 2024. 6. 6.
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