파푸스 굴딘 정리 Pappus's centroid theorem

수학에서 파푸스의 중심 정리(또는 굴디누스 정리, 파푸스-굴디누스 정리, 파푸스 정리)는 회전체의 표면적과 부피를 다루는 두 개의 정리를 의미합니다.

이 정리는 알렉산드리아의 파푸스와 폴 굴딘에게 귀속됩니다. 파푸스의 아이디어는 서기 300년 경 아이디어 형태로 1659년에 처음 인쇄물로 나타났지만, 그 이전에 이미 1615년에 케플러에 의해 알려졌고, 1640년에 스위스의 수학자 굴딘(Paul Guldin 1577~1643)에 의해 증명되었습니다.

 

1. 표면적에 관한 정리

 

첫 번째 정리는 평면 곡선 C를 C 외부에 있고 동일 평면에 있는 축을 중심으로 회전시킵니다. 그 때 생성된 회전체의 표면적 A는 C의 호 길이 s와 C의 기하학적 중심이 이동한 거리 d의 곱과 같습니다.

$$ A = sd $$

 

출처 위키피디아

 

 

2. 부피에 관한 정리

 

두 번째 정리는 평면 도형 F를 외부 축을 중심으로 회전시켜 생성된 회전체의 부피 V가 F의 면적 A와 F의 기하학적 중심(무게중심)이 이동한 거리 d의 곱과 같다고 명시합니다. (F의 중심은 일반적으로 경계 곡선 C의 중심과 다릅니다.)

$$ V=Ad $$

 

쉽게 아이디어를 설명해 보겠습니다.

 

초등학교때 원의 넓이를 배우면서 우리는 이러한 이미지로 공부하였는데..

초등수학에서 원의 넓이를 설명하는 방법

 

같은 아이디어지만 다음과 같이 생각 할 수도 있습니다.

파푸스 아이디어의 시초

위와 같이 동심원을 여러개 그려서 원을 반으로 자른 후, 어긋나게 붙입니다. 그런 다음 흰선을 따라 절단하고, 한가닥 한가닥을 선분으로 펴셔 붙이면 직사각형이 되는데 이 것이 원의 넓이와 같습니다.

 

마찬가지 방법으로 토러스의 부피도 다음과 같이 구할 수 있습니다.

파푸스의 아이디어

 

회전체(토러스)는 넓이 A인 평면도형 F가 회전축을 중심으로 360도 회전하면, F의 기하학적 중심(무게중심)이 지나는 선(빨간선)만큼 이동하게 됩니다. 그 거리를 d라고 하면, 회전체의 부피 V는

 

$$ V=Ad $$