파푸스 굴딘 정리3 (반원에 의한 회전체의 부피)

반원에 의한 회전체의 부피

 

회전축 l로부터 c만큼 떨어져 있는 반지름이 r인 반원을 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 구해보자.

먼저 반원의 무게중심이 어디에 있는지 구의 부피와 파푸스 굴디누스 정리를 이용하여 구해보자.

 

구의 부피 V는

$$ V = \frac {4}{3} \pi r^3 $$

반원의 넓이 A는

$$ A = \frac{\pi r^2}{2} $$

파푸스 굴디누스에 의해

$$ V= Ad $$

$$ \frac {4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi r^2}{2} \times d $$

$$ d= \frac {8}{3} r $$

d는 단면이 1회전할때, 무게중심이 이동한 거리이므로

$$ d = 2\pi \times \overline {\rm GO}  $$

$$ \overline {\rm GO} = \frac {4r}{3\pi} $$

 

이제 원래 문제로 돌아가서 반원을 거리 c만큼 떨어뜨리고 1회전 시키면

$$ V = Ad  = \frac{\pi r^2}{2} \times 2 \pi (\frac {4r}{3\pi} + c) $$

$$ \therefore V = \pi r^2 ( \frac {4r}{3} + c\pi ) $$