파푸스 굴딘 정리2 (삼각형에 의한 회전체의 부피)

<삼각형에 의한 회전체의 부피 증명>

 

다음 그림과 같이 주어진 직각삼각형을 회전축 l을 중심으로 회전시켰을 때 만들어지는 회전체의 부피를 구해보자.

 

 

1. 전통적인 방법으로 회전체의 부피를 직접 구해 보면,

 

 

 

주어진 도형을 1 회전할 때 생기는 회전체의 부피를 V라고 할 때, 
그림과 같이 밑면의 반지름이 a+c인 원뿔에서 부피 V₃, 
밑면의 반지름이 c인 원뿔과 원기둥의 부피 V₁과 V₂에 대하여

 

$$ V = V_3 - V_2 - V_1 $$

 

밑면의 반지름이 c인 원뿔의 높이를 x라고 하면

$$ x= \frac {bc}{a} $$

 

따라서,

$$ V_3 = \frac{1}{3} \times \pi \times (a+c)^2 \times (b + \frac{bc}{a}) = \frac {b}{3a} (a+c)^3 \pi $$

$$ V_2 = bc^2 \pi $$

$$ V_1 = \frac {1}{3} \times \pi \times c^2 \times \frac{bc}{a} = \frac {bc^3\pi}{3a} $$

 

$$ V = \frac {b}{3a} (a+c)^3 \pi - bc^2 \pi - \frac {bc^3\pi}{3a} = \frac {ab(a+3c)\pi}{3} $$

 

2. 파푸스 굴디누스의 방법으로 회전체의 부피를 구해 보자.

삼각형 ABC의 무게중심 G에서 변AC에 내린 수선의 발을 P라고 하면

$$ \overline {\rm GP} = \frac{a}{3} $$

 

파푸스 굴디누스 정리 :

회전체(토러스)는 넓이 A인 평면도형 F가 회전축을 중심으로 360도 회전하면, F의 기하학적 중심(무게중심)이 지나는 선(빨간선)만큼 이동하게 됩니다. 그 거리를 d라고 하면, 회전체의 부피 V는

 

$$ V=Ad $$

 

이므로

$$ A= \frac{ab}{2} $$

$$ d= 2(\frac{a}{3} + b)\pi $$

$$ V = \frac {ab(a+3c)\pi}{3} $$

 

첫번째 방법(전통적인 방법)과 두번째 방법(파푸스 굴디누스 방법)의 결과 같음을 알 수 있다.